Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma

Si la ecuación es  , entonces puede despejarse    ó bien  sumar   en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada. 

Ejemplos:
1) La ecuación    se puede transformar en  .
2) La ecuación     se puede transformar en   . 

Dada la aproximación  , la siguiente iteración se calcula con la fórmula:

Supongamos que la raíz verdadera es  , es decir,

Restando las últimas ecuaciones obtenemos:

Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si   es contínua en    y diferenciable en  entonces  existe   tal que  .

En nuestro caso, existe    en el intervalo determinado por   y   tal que:

De aquí tenemos que:

O bien,

Tomando valor absoluto en ambos lados,

Observe que el término  es precisamente el error absoluto en la   ésima iteración, mientras que el término    corresponde al error absoluto en la   ésima iteración.

Por lo tanto, solamente si  , entonces se disminuirá el error en la siguiente iteración. En caso contrario, el error irá en aumento.

En resumen, el método de iteración del punto fijo converge a la raíz si    para   en un intervalo  que contiene a la raíz y donde   es contínua y diferenciable, pero diverge si   en dicho intervalo.

Analicemos nuestros ejemplos anteriores:

• En el ejemplo 1,   y claramente se cumple la condición de que . Por lo tanto el método sí converge a la raíz.
• En el ejemplo 2,   y en  este caso,  . Por lo tanto, el método no converge a la raíz.

  Para aclarar el uso de la fórmula veamos dos ejemplos: 

Ejemplo 1
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de  , comenzando con   y hasta que  . 

Solución
Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz.
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,

Con un error aproximado de

Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,

Y un error aproximado de  .

Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es:

Con un error aproximado igual al . 

Ejemplo 2
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de  , comenzando con   y hasta que  . 

Solución
Si despejamos la  del término lineal, vemos que la ecuación equivale a

 de donde, 

 

 En este caso, tenemos que  . Un vistazo a la gráfica,

nos convence que , para , lo que es suficiente para deducir que el método sí converge a la raíz buscada.

Aplicando la fórmula iterativa, tenemos:

Con un error aproximado del 100%.

Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:

Con un error aproximado igual al 28.41%.

En este ejemplo, el  método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

De donde vemos que la aproximación buscada es:

Veremos a continuación un ejemplo del metódo de la Punto Fijo con la siguiente ecuación:

Comenzar >>>